Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n.$$
(b)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\ln(1+x)}{x\arctan x}.$$
MM2001 · Hela analys
Tenta 2018-08-22
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Sätt $n=2k$. Då är
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac1k\right)^{2k}=e^2.$$
b) Maclaurinutvecklingarna ger
$$\sin x-\ln(1+x)=\frac12x^2+\mathcal O(x^3),\qquad x\arctan x=x^2+\mathcal O(x^4).$$
Alltså är gränsvärdet $\frac12$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Betrakta funktionen $f(x)=e^{-\lvert x\rvert}-\lvert x-1\rvert$. Undersök extrempunkter (lokala och globala), konvexitetsegenskaper och asymptoter, samt skissera grafen.
Visa lösningDölj lösning
Funktionen behandlas i fallen $x<0$, $0<x<1$ och $x>1$. Teckenstudiet visar att den enda extrempunkten är $(1,e^{-1})$, som är ett globalt maximum; $(0,0)$ är ingen extrempunkt eftersom derivatan hoppar nedåt där.
Funktionen är konvex på $(-\infty,0]$, $[0,1]$ och $[1,\infty)$, men inte på något större intervall. Då $x\to\infty$ gäller
$f(x)-(-x+1)=e^{-x},$
så $y=-x+1$ är en sned asymptot. Då $x\to-\infty$ gäller på samma sätt att $y=x+1$ är en sned asymptot.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Bestäm den eller de tangenter till kurvan $y=2\sqrt{x}$, $x\ge 0$, som går genom punkten $(2,3)$.
Visa lösningDölj lösning
Tangenten till $y=2\sqrt x$ i punkten $(a,2\sqrt a)$ har ekvationen
$$y=2\sqrt a+\frac1{\sqrt a}(x-a).$$
Kravet att den går genom $(2,3)$ ger, med $t=\sqrt a$,
$$3=t+\frac2t\iff t^2-3t+2=0.$$
Alltså är $t=1$ eller $t=2$, och tangenterna är
$$y=x+1\qquad\text{och}\qquad y=\frac12x+2.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värde till funktionen
$$ f(x,y)=x^2+y^2-2\ln(x+y+1), $$
i den del av planet som uppfyller villkoren $0\le x,y$ och $1\le x+y\le 2$.
(Ledning: Det kan underlätta att veta att $\ln 2\approx 0{,}69$ och $\ln 3\approx 1{,}10$.)
Visa lösningDölj lösning
De kritiska ekvationerna ger den inre punkten $(\frac12,\frac12)$, där
$$f\left(\frac12,\frac12\right)=1-2\ln2.$$
På randen mellan $(1,0)$ och $(0,1)$ samt på övriga ränder ger teckenstudiet att största och minsta värden måste jämföras bland randvärdena och den inre punkten. Värdena är
$$f(1,0)=f(0,1)=1,\qquad f(0,2)=f(2,0)=4-2\ln3,$$
och $f(\frac12,\frac12)=1-2\ln2$. Därför är största värdet $4-2\ln3$ och minsta värdet $1-2\ln2$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$ \iint_D e^{x+y}\,dx\,dy, $$
där $D$ är den kvadrat som har hörn i punkterna $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ och $(0,-1)$.
Visa lösningDölj lösning
Med det linjära bytet $u=x+y$, $v=-x+y$ fås $dx\,dy=\frac12du\,dv$. Området blir kvadraten $-1\le u,v\le1$, och därför
$$\iint_De^{x+y}\,dx\,dy=\frac12\left(\int_{-1}^1e^u\,du\right)\left(\int_{-1}^1dv\right)=e-\frac1e.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer:
(a)
$$y'y=x,\qquad y(0)=-1.$$
(b)
$$y''-3y'+2y=\sin x+\cos x.$$
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen är separabel:
$$\int y\,dy=\int x\,dx.$$
Villkoret $y(0)=-1$ ger
$$y^2=x^2+1.$$
Vi väljer den negativa roten, alltså
$$y=-\sqrt{x^2+1}.$$
b) Den homogena lösningen är $C_1e^x+C_2e^{2x}$. En partikulärlösning är $-\frac15\sin x+\frac25\cos x$. Alltså är
$$y=C_1e^x+C_2e^{2x}-\frac15\sin x+\frac25\cos x.$$