Hela analys · 2018-08-22
Bestäm största och minsta värde till funktionen
$$ f(x,y)=x^2+y^2-2\ln(x+y+1), $$
i den del av planet som uppfyller villkoren $0\le x,y$ och $1\le x+y\le 2$.
(Ledning: Det kan underlätta att veta att $\ln 2\approx 0{,}69$ och $\ln 3\approx 1{,}10$.)
De kritiska ekvationerna ger den inre punkten $(\frac12,\frac12)$, där
$$f\left(\frac12,\frac12\right)=1-2\ln2.$$
På randen mellan $(1,0)$ och $(0,1)$ samt på övriga ränder ger teckenstudiet att största och minsta värden måste jämföras bland randvärdena och den inre punkten. Värdena är
$$f(1,0)=f(0,1)=1,\qquad f(0,2)=f(2,0)=4-2\ln3,$$
och $f(\frac12,\frac12)=1-2\ln2$. Därför är största värdet $4-2\ln3$ och minsta värdet $1-2\ln2$.