Uppgift 4
Bestäm största och minsta värdet till funktionen
$$f(x,y)=\lvert xy\rvert-1$$
på cirkelskivan
$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 4\}$$
och ange samtliga punkter där dessa värden antas.
Hela analys · 2019-02-20
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Eftersom $\lvert xy\rvert\geq0$ är minsta värdet $-1$, och det antas på hela skärningen av koordinataxlarna med skivan. På randen i första kvadranten, $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, gäller
$$f=4\cos t\sin t-1=2\sin(2t)-1.$$
Detta maximeras för $t=\pi/4$, vilket ger värdet $1$. Genom symmetri antas maximum i
$$ (±\sqrt2,±\sqrt2).$$