Uppgift 1
Beräkna gränsvärdena
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n^2)}{n^4}$$
och
$$\lim_{x\to 0}\frac{xe^{2x}+\sin x-2x-2x^2}{x^3}.$$
MM2001 · Hela analys
Tenta 2019-02-20
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Eftersom $\lvert\sin(n^2)\rvert\leq1$ är
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n^2)}{n^4}=0.$$
Vidare ger Maclaurinutvecklingarna
$$xe^{2x}=x+2x^2+2x^3+O(x^4),qquad\sin x=x-\frac16x^3+O(x^5).$$
Alltså är det andra gränsvärdet $\frac{11}{6}$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Undersök extremvärden, konvexitetsegenskaper och asymptoter till funktionen
$$f(x)=\frac{x^3+6x}{1+x^2}.$$
Skissera även grafen till $f$.
Visa lösningDölj lösning
Nämnaren är positiv och $f$ är udda. Vi har
$$f'(x)=\frac{x^4-3x^2+6}{(1+x^2)^2}>0,$$
så $f$ är strängt växande och saknar extrempunkter. Dessutom
$$f''(x)=\frac{10x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}.$$
Funktionen är konkav på $(-\infty,-\sqrt3)$ och $(0,\sqrt3)$, samt konvex på $(-\sqrt3,0)$ och $(\sqrt3,\infty)$. Slutligen
$$f(x)-x=\frac{5x}{1+x^2}\to0,$$
så $y=x$ är en sned asymptot.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Bestäm volymen av den rotationskropp som erhålles då kurvan
$$y=x+x^2,\qquad 0\le x\le 4,$$
får rotera runt $x$-axeln.
Visa lösningDölj lösning
Skivformeln ger
$$V=\pi\int_0^4(x+x^2)^2\,dx=\pi\int_0^4(x^2+2x^3+x^4)\,dx.$$
Därmed
$$V=\pi\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{5}\right]_0^4=\frac{5312\pi}{15}.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värdet till funktionen
$$f(x,y)=\lvert xy\rvert-1$$
på cirkelskivan
$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 4\}$$
och ange samtliga punkter där dessa värden antas.
Visa lösningDölj lösning
Eftersom $\lvert xy\rvert\geq0$ är minsta värdet $-1$, och det antas på hela skärningen av koordinataxlarna med skivan. På randen i första kvadranten, $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, gäller
$$f=4\cos t\sin t-1=2\sin(2t)-1.$$
Detta maximeras för $t=\pi/4$, vilket ger värdet $1$. Genom symmetri antas maximum i
$$ (±\sqrt2,±\sqrt2).$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D xe^{x^2}e^{-y/2}\,dx\,dy$$
där
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le 4,\ -x^2\le y\le x^2\}.$$
Visa lösningDölj lösning
Av symmetri är
$$\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy=2\int_0^1\int_0^{1-x}x^2\,dy\,dx=2\int_0^1x^2(1-x)\,dx=\frac16.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$y''+y'-2y=1$$
som uppfyller $y(0)=-1$ och $y'(0)=0$.
Visa lösningDölj lösning
Den homogena lösningen är $y_h=C_1e^{-2x}+C_2e^x$, och en partikulärlösning är $y_p=-\frac12$. Villkoren ger
$$C_1+C_2=-\frac12,qquad-2C_1+C_2=0,$$
så $C_1=-\frac16$ och $C_2=-\frac13$. Alltså
$$y(x)=-\frac16e^{-2x}-\frac13e^x-\frac12.$$