Hela analys · 2019-05-23
När man byter från rektangulära koordinater $(x,y)$ i planet till polära koordinater $(r,\theta)$ så skall $dx\,dy$ i en dubbelintegral ersättas med vad då?
Låt $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\ge 0,\ 1\le x^2+y^2\le 4\}$. Beräkna
$$\iint_D\ln(x^2+y^2)\,dx\,dy.$$
a) I polära koordinater gäller
$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta.$$
b) Området är den övre halvringen $1\le r\le2$, $0\le\theta\le\pi$. Därför
$$\iint_D\ln(x^2+y^2)\,dx\,dy=\int_0^\pi\int_1^2\ln(r^2)r\,dr\,d\theta$$
$$=\pi\left[r^2\left(\ln r-\frac12\right)\right]_1^2=\pi\left(4\ln2-\frac32\right).$$