Uppgift 1
(a)
Beräkna följande gränsvärde:
$$\lim_{x\to 1}\frac{x^2+3x-4}{x^2-1}.$$
(b)
Beräkna följande gränsvärde:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{\sin x}.$$
MM2001 · Hela analys
Tenta 2019-05-23
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Faktorisera täljare och nämnare:
$$\lim_{x\to1}\frac{x^2+3x-4}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+4)}{(x-1)(x+1)}=\frac52.$$
b) Eftersom $\ln(1+x)\sim x$ och $\sin x\sim x$ då $x\to0$, är
$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{\sin x}=1.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
(a)
När man byter från rektangulära koordinater $(x,y)$ i planet till polära koordinater $(r,\theta)$ så skall $dx\,dy$ i en dubbelintegral ersättas med vad då?
(b)
Låt $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\ge 0,\ 1\le x^2+y^2\le 4\}$. Beräkna
$$\iint_D\ln(x^2+y^2)\,dx\,dy.$$
Visa lösningDölj lösning
a) I polära koordinater gäller
$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta.$$
b) Området är den övre halvringen $1\le r\le2$, $0\le\theta\le\pi$. Därför
$$\iint_D\ln(x^2+y^2)\,dx\,dy=\int_0^\pi\int_1^2\ln(r^2)r\,dr\,d\theta$$
$$=\pi\left[r^2\left(\ln r-\frac12\right)\right]_1^2=\pi\left(4\ln2-\frac32\right).$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
Rita grafen till funktionen
$$f(x)=x+\frac{3}{x}+4\arctan x.$$
Undersök speciellt stationära punkter, extremvärden, och asymptoter. Ange även funktionens värdemängd. (Försäkra dig om att du utreder allt som problemformuleringen efterfrågar!)
Visa lösningDölj lösning
Funktionen är definierad för $x\ne0$. Derivatan är
$$f'(x)=1-\frac3{x^2}+\frac4{x^2+1}=\frac{x^4+2x^2-3}{x^2(x^2+1)}.$$
Den är noll då $x=\pm1$. Alltså är $x=-1$ en lokal maximipunkt och $x=1$ en lokal minimipunkt, med
$$f(-1)=-4-\pi,\qquad f(1)=4+\pi.$$
Grafen har den lodräta asymptoten $x=0$. Eftersom $\arctan x\to\pm\pi/2$ då $x\to\pm\infty$, är de sneda asymptoterna
$$y=x-2\pi\quad(x\to-\infty),\qquad y=x+2\pi\quad(x\to\infty).$$
Värdemängden är
$$(-\infty,-4-\pi]\cup[4+\pi,\infty).$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värde till funktionen $f(x,y)=x^2-y^2$ i området $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le 3,\ -x\le y\le x\}$. Ange i vilka punkter dessa värden antas.
Visa lösningDölj lösning
I triangeln gäller $-x\le y\le x$ och $0\le x\le3$, vilket ger $x^2-y^2\ge0$. Största värdet fås då $x=3$ och $y=0$:
$$f(3,0)=9.$$
Minimivärdet är $0$ och antas längs randstrålarna $y=x$ och $y=-x$, inklusive origo.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Beräkna den rotationsvolym som uppstår då funktionsgrafen
$$y=\frac{1}{\sqrt{x\ln x}},\qquad e^2\le x\le e^4,$$
får rotera runt $x$-axeln. Svaret skall förenklas så långt som möjligt.
Visa lösningDölj lösning
Rotationsvolymen kring $x$-axeln är
$$V=\pi\int_{e^2}^{e^4}y^2\,dx=\pi\int_{e^2}^{e^4}\frac{1}{x\ln x}\,dx$$
$$=\pi\left[\ln(\ln x)\right]_{e^2}^{e^4}=\pi\ln2.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
(a)
Bestäm en lösning $x(t)$ till
$$x''-2x'+5x=-t$$
som uppfyller villkoren $x(0)=0$ och $x'(0)=0$.
(b)
En kula med massan 50 kg skjuts rakt upp med en initial hastighet på 98 m/s. Antag att luftmotståndet vid tiden $t$ på kulan är $5v(t)$, där $v(t)$ betecknar kulans hastighet. Antag vidare att gravitationskonstanten $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$. Efter hur många sekunder når kulan sin högsta punkt? Komplettera ditt exakta svar med ett närmevärde. (Newton tipsar: Kulans rörelse uppfyller lagen $mv'(t)=F(t)$, där $F(t)$ är den totala kraften på kulan.)
Visa lösningDölj lösning
a) Den homogena ekvationen har lösningen
$$x_h(t)=e^t(A\cos2t+B\sin2t).$$
En partikulärlösning till $x''-2x'+5x=-t$ är $x_p(t)=-\frac{2}{25}-\frac{t}{5}$. Villkoren $x(0)=x'(0)=0$ ger $A=\frac{2}{25}$ och $B=-\frac{3}{50}$. Alltså
$$x(t)=-\frac{2}{25}-\frac{t}{5}+e^t\left(\frac{2}{25}\cos2t-\frac{3}{50}\sin2t\right).$$
b) Hastigheten uppfyller
$$50v'(t)=-50\cdot9.8-5v(t),\qquad v(0)=98,$$
eller $v'(t)+\frac1{10}v(t)=-9.8$. Lösningen är
$$v(t)=196e^{-t/10}-98.$$
Högsta punkten nås då $v(t)=0$, alltså
$$e^{-t/10}=\frac12,\qquad t=10\ln2\approx7\text{ s}.$$