Hela analys · 2019-05-23
Rita grafen till funktionen
$$f(x)=x+\frac{3}{x}+4\arctan x.$$
Undersök speciellt stationära punkter, extremvärden, och asymptoter. Ange även funktionens värdemängd. (Försäkra dig om att du utreder allt som problemformuleringen efterfrågar!)
Funktionen är definierad för $x\ne0$. Derivatan är
$$f'(x)=1-\frac3{x^2}+\frac4{x^2+1}=\frac{x^4+2x^2-3}{x^2(x^2+1)}.$$
Den är noll då $x=\pm1$. Alltså är $x=-1$ en lokal maximipunkt och $x=1$ en lokal minimipunkt, med
$$f(-1)=-4-\pi,\qquad f(1)=4+\pi.$$
Grafen har den lodräta asymptoten $x=0$. Eftersom $\arctan x\to\pm\pi/2$ då $x\to\pm\infty$, är de sneda asymptoterna
$$y=x-2\pi\quad(x\to-\infty),\qquad y=x+2\pi\quad(x\to\infty).$$
Värdemängden är
$$(-\infty,-4-\pi]\cup[4+\pi,\infty).$$