Hela analys · 2019-05-23

Uppgift 6

Hela tentan

Alan Sola Differentialekvationer Lösning

Uppgift 6

(a)

Bestäm en lösning $x(t)$ till

$$x''-2x'+5x=-t$$

som uppfyller villkoren $x(0)=0$ och $x'(0)=0$.

(b)

En kula med massan 50 kg skjuts rakt upp med en initial hastighet på 98 m/s. Antag att luftmotståndet vid tiden $t$ på kulan är $5v(t)$, där $v(t)$ betecknar kulans hastighet. Antag vidare att gravitationskonstanten $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$. Efter hur många sekunder når kulan sin högsta punkt? Komplettera ditt exakta svar med ett närmevärde. (Newton tipsar: Kulans rörelse uppfyller lagen $mv'(t)=F(t)$, där $F(t)$ är den totala kraften på kulan.)

Visa lösningDölj lösning

a) Den homogena ekvationen har lösningen

$$x_h(t)=e^t(A\cos2t+B\sin2t).$$

En partikulärlösning till $x''-2x'+5x=-t$ är $x_p(t)=-\frac{2}{25}-\frac{t}{5}$. Villkoren $x(0)=x'(0)=0$ ger $A=\frac{2}{25}$ och $B=-\frac{3}{50}$. Alltså

$$x(t)=-\frac{2}{25}-\frac{t}{5}+e^t\left(\frac{2}{25}\cos2t-\frac{3}{50}\sin2t\right).$$

b) Hastigheten uppfyller

$$50v'(t)=-50\cdot9.8-5v(t),\qquad v(0)=98,$$

eller $v'(t)+\frac1{10}v(t)=-9.8$. Lösningen är

$$v(t)=196e^{-t/10}-98.$$

Högsta punkten nås då $v(t)=0$, alltså

$$e^{-t/10}=\frac12,\qquad t=10\ln2\approx7\text{ s}.$$