Uppgift 1
Beräkna gränsvärdena
(a)
$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x^2)-2x^2}{3x^4}$
(b)
$\lim_{x\to\infty}\frac{(x^2+x)\sin x}{x^3+1}$
och
(c)
$\lim_{x\to\pi/2}\frac{(x-\frac{\pi}{2})\sin x}{x^2-\frac{\pi^2}{4}}$.
Hela analys · 2019-12-19
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) $\ln(1+2x^2)=2x^2-2x^4+O(x^6)$, alltså är gränsvärdet $-\frac23$.
b) Eftersom $\lvert\sin x\rvert\leq1$ och $(x^2+x)/(x^3+1)\to0$, är gränsvärdet $0$.
c) Efter faktorisering fås $x^2-\pi^2/4=(x-\pi/2)(x+\pi/2)$, och gränsvärdet är $\frac1\pi$.