Uppgift 1
Beräkna gränsvärdena
(a)
$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x^2)-2x^2}{3x^4}$
(b)
$\lim_{x\to\infty}\frac{(x^2+x)\sin x}{x^3+1}$
och
(c)
$\lim_{x\to\pi/2}\frac{(x-\frac{\pi}{2})\sin x}{x^2-\frac{\pi^2}{4}}$.
MM2001 · Hela analys
Tenta 2019-12-19
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) $\ln(1+2x^2)=2x^2-2x^4+O(x^6)$, alltså är gränsvärdet $-\frac23$.
b) Eftersom $\lvert\sin x\rvert\leq1$ och $(x^2+x)/(x^3+1)\to0$, är gränsvärdet $0$.
c) Efter faktorisering fås $x^2-\pi^2/4=(x-\pi/2)(x+\pi/2)$, och gränsvärdet är $\frac1\pi$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Undersök extremvärden, konvexitetsegenskaper och asymptoter till funktionen
$$f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2-1}.$$
Skissera även grafen för $f$.
Visa lösningDölj lösning
$$f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2-1},quad f'(x)=-\frac{6x}{(x^2-1)^2},quad f''(x)=\frac{6(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}.$$
Lodräta asymptoter är $x=\pm1$ och den vågräta asymptoten är $y=2$. Funktionen har ett lokalt maximum $f(0)=-1$, saknar globala extremvärden, är konkav på $(-1,1)$ och konvex utanför detta intervall.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Bestäm Taylorpolynomet av ordning fyra i punkten $x=-\pi/2$ till funktionen
$$f(x)=x\sin x.$$
Visa lösningDölj lösning
Med $a=-\pi/2$ fås
$$f(a)=\frac\pi2, f'(a)=-1, f''(a)=-\frac\pi2, f^{(3)}(a)=3, f^{(4)}(a)=\frac\pi2.$$
Alltså
$$p_4(x)=-x-\frac\pi4\left(x+\frac\pi2\right)^2+\frac12\left(x+\frac\pi2\right)^3+\frac\pi{48}\left(x+\frac\pi2\right)^4.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värdet till funktionen
$$f(x,y)=x^2+2x+y^3$$
på kvadraten
$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -2\le x\le 2,\ -2\le y\le 2\}$$
och ange i vilka punkter dessa värden antas.
Visa lösningDölj lösning
Gradienten är $\nabla f=(2x+2,3y^2)$, så den inre kandidaten är $(-1,0)$ med värdet $-1$. Randjämförelse ger största värdet $16$ i $(2,2)$ och minsta värdet $-9$ i $(-1,-2)$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
(a)
Avgör huruvida följande generaliserade integral är konvergent:
$$\int_1^\infty\frac{dx}{(x+1)\ln(x+1)}.$$
(b)
Avgör huruvida följande serie konvergerar:
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k}{k^3+k^2-1}.$$
Visa lösningDölj lösning
a) $\int_1^R((x+1)\ln(x+1))^{-1}dx=\ln\ln(R+1)-\ln\ln2\to\infty$; integralen divergerar.
b) För $k\geq1$ gäller
$$\frac{k^2+k}{k^3+k^2-1}\geq\frac1k,$$
så serien divergerar genom jämförelse med den harmoniska serien.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$y''-y'-2y=x^2-1$$
som uppfyller $y(0)=0$ och $y'(0)=-3$.
Visa lösningDölj lösning
Den homogena lösningen är $C_1e^{-x}+C_2e^{2x}$. En partikulärlösning är $-\frac12x^2+\frac12x-\frac14$. Begynnelsevillkoren ger $C_1=\frac43$, $C_2=-\frac{13}{12}$, alltså
$$y=\frac43e^{-x}-\frac{13}{12}e^{2x}-\frac12x^2+\frac12x-\frac14.$$