Uppgift 2

Vi har att funktionen är definierad och kontinuerlig för alla $x\ne0$, och
$$f(x)=\lvert x\rvert+2\arctan\left(\frac1x\right)=\begin{cases}x+2\arctan\left(\frac1x\right)&\text{om }x>0,\\-x+2\arctan\left(\frac1x\right)&\text{om }x<0.\end{cases}$$
Den enda möjliga vertikala asymptoten är vid $x=0$, men $\lim_{x\to0^+}f(x)=\pi$ och $\lim_{x\to0^-}f(x)=-\pi$, så vertikala asymptoter saknas. Däremot får vi
$$\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=0$$
så $y=x$ är en asymptot då $x\to\infty$, och
$$\lim_{x\to-\infty}(f(x)+x)=0$$
så $y=-x$ är en asymptot då $x\to-\infty$.

Derivering ger, efter förenkling,
$$f'(x)=\begin{cases}1-\frac2{1+x^2}&\text{om }x>0,\\-1-\frac2{1+x^2}&\text{om }x<0,\end{cases}\qquad f''(x)=\frac{4x}{(1+x^2)^2},\ \text{om }x\ne0.$$
Vi ser att $f'(x)$ endast har nollstället $x=1$, och att $f''(x)$ saknar nollställen. Vi gör en teckentabell
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&1&\\\hline f'(x)&-&\text{ej def.}&-&0&+\\f(x)&\searrow&\text{ej def.}&\searrow&1+\pi/2&\nearrow\\f''(x)&-&\text{ej def.}&+&+&+\\f(x)&\frown&\text{ej def.}&\smile&\smile&\smile\end{array}$$
Från teckentabellen ser vi att funktionen har ett lokalt extremvärde, ett lokalt minimum vid $x=1$. Funktionen är konvex på intervallet $(0,\infty)$, samt konkav på $(-\infty,0)$.

Vi har nu tillräcklig information för att kunna rita en skiss av grafen:

Slutligen ser vi att funktionens värdemängd är intervallet $(-\pi,\infty)$.