Uppgift 2

Funktionen

$$ f(x)=\frac1x+2\arctan x $$

är definierad på $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ och är udda. Asymptoterna är $y=\pi$, $y=-\pi$ och $x=0$, eftersom

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\pi,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\pi,\quad \lim_{x\to0^\pm}f(x)=\pm\infty. $$

Derivatan är

$$ f'(x)=-\frac1{x^2}+\frac2{1+x^2} =\frac{x^2-1}{(1+x^2)x^2}. $$

Alltså har funktionen en lokal maxpunkt vid $x=-1$, med värdet $-1-\pi/2$, och en lokal minpunkt vid $x=1$, med värdet $1+\pi/2$. Värdemängden är

$$ ]-\infty,-1-\frac\pi2]\cup[1+\frac\pi2,\infty[. $$

Vidare är

$$ f''(x)=-\frac{2(x^4-2x^2-1)}{x^3(x^2+1)^2}. $$

Nollställena är $x=\pm\sqrt{1+\sqrt2}$. Funktionen är konvex på

$$ ]-\infty,-\sqrt{1+\sqrt2}]\quad\text{och}\quad]0,\sqrt{1+\sqrt2}], $$

och konkav på de återstående intervallen. Dessa två punkter är inflektionspunkter.