Uppgift 2

Funktionen är definierad, kontinuerlig och dessutom godtyckligt många gånger deriverbar på $D_f=\mathbb R\setminus\{0\}$. Vi observerar först att funktionen är udda, och sedan att
$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\quad\text{och}\quad\lim_{x\to0^\pm}f(x)=\pm\pi.$$
Det finns inga lodräta asymptoter, men
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=1\quad\text{och}\quad\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-x)=0,$$
vilket visar att linjen $y=x$ är en tvåsidig asymptot. För derivatan får vi
$$f'(x)=D\left(x+2\arctan\frac1x\right)=1+\frac2{1+(1/x)^2}\cdot\frac{-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2+1},$$
med de uppenbara nollställena $x=\pm1$.

Vi får nu följande tabell:
$$\begin{array}{c|ccccccccc}x&-\infty&&-1&&0&&1&&\infty\\\hline f'&&+&0&-&\text{ej def.}&-&&+&\\f&-\infty&\nearrow&-\pi/2-1&\searrow&\text{ej def.}&\searrow&1+\pi/2&\nearrow&\infty\end{array}$$
Vi noterar att $-1$ är en lokal maxpunkt med maxvärde $-\pi/2-1$, och att $1$ är en lokal minpunkt med minvärde $1+\pi/2$, men att globala extrempunkter saknas. Det följer också att
$$V_f=(-\infty,-\pi/2-1]\cup[\pi/2+1,\infty).$$
För andraderivatan får vi
$$f''(x)=D\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$$
som saknar nollställen i definitionsmängden. Vi får följande tabell:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&&0&&\infty\\\hline f''&&-&\text{ej def.}&+&\\f&&\frown&\text{ej def.}&\smile&\end{array}$$
$f(x)$ är tydligen konkav på $(-\infty,0)$ och konvex på $(0,\infty)$, men saknar inflexionspunkter.