Uppgift 3

Vi gör först en förenklad grafritning av $f(x)=x+2\sin x$. $f'(x)=1+2\cos x$ har de två följderna av nollställen ($n$ heltal)
$$N_1:\ x=\frac23\pi+2\pi n,\qquad N_2:\ x=-\frac23\pi+2\pi n.$$
$f''(x)=-2\sin x$ och andraderivatkriteriet ger att punkterna i $N_1$ är maxpunkter och punkterna i $N_2$ är minpunkter. Vi får följande graf:

Vi noterar först att funktionen på varje intervall av typen $[2\pi m,2\pi(m+1)]$ ($m$ heltal) antar sitt minimum i vänstra ändpunkten och sitt maximum i den högra. Detta följer av att värdet i den lokala minpunkten $-\frac23\pi+2\pi(m+1)$ är $2\pi m+\frac43\pi-\sqrt3$ som är större än värdet $2\pi m$ i den vänstra ändpunkten, och på motsvarande sätt inses att värdet i den lokala maxpunkten $\frac23\pi+2\pi m$ är mindre än värdet i den högra ändpunkten $[2\pi(m+1)]$. Det följer nu ur figuren att ekvationen för varje $a$ har $1$, $2$ eller $3$ lösningar, och att det finns två lösningar precis för dom värden på $a$ som svarar mot lokala extremvärden. För följden $N_1$ motsvarar detta tal på formen $a=\frac23\pi+2\pi n+\sqrt3$ och för $N_2$ mot tal på formen $a=-\frac23\pi+2\pi n-\sqrt3$ ($n\in\mathbb Z$).