Uppgift 2

Vi har att funktionen $f(x)=\arctan\left(\frac{x+1}x\right)$ är definierad för alla $x\ne0$, så den enda möjliga vertikala asymptoten är linjen $x=0$, men med variabelbytet $t=(x+1)/x$ får vi $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{t\to\infty}\arctan(t)=\pi/2$ och $\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{t\to-\infty}\arctan(t)=-\pi/2$, så vertikal asymptot saknas. Däremot får vi
$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{t\to1}\arctan(t)=\frac\pi4,$$
så $y=\pi/4$ är horisontell asymptot då $x\to\pm\infty$.

Vi får
$$f'(x)=\frac{-1}{2x^2+2x+1},\qquad f''(x)=\frac{4x+2}{(2x^2+2x+1)^2},$$
för $x\ne0$, $f'(x)<0$ för alla $x\ne0$.

Vi har $f''(x)=0$ endast för $x=-1/2$, och vi gör en teckentabell
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-1/2&&0&\\\hline f'(x)&-&-&-&\text{ej def.}&-\\f(x)&\searrow&\searrow&\searrow&\text{ej def.}&\searrow\\f''(x)&-&0&+&\text{ej def.}&+\\f(x)&\frown&\text{infl.}&\smile&\text{ej def.}&\smile\end{array}$$
Från teckentabellen ser vi att funktionen saknar lokala extremvärden, men har en inflektionspunkt vid $x=-1/2$. Funktionen är konkav på intervallet $(-\infty,-1/2)$, och konvex på intervallen $(-1/2,0)$ och $(0,\infty)$.

Vi har nu tillräcklig information för att kunna rita en skiss av grafen:

Slutligen ser vi att funktionens värdemängd är $(-\pi/2,\pi/4)\cup(\pi/4,\pi/2)$.