Uppgift 1
Beräkna gränsvärdena
(a)
$\lim_{x\to 1^-}\frac{\sqrt{x^2+8}-3}{\lvert x-1\rvert}$
(b)
$\lim_{x\to 0}\frac{\pi\ln(1+x^3)-x^2\sin(\pi x)}{x^5}$
Hela analys · 2022-06-14
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Eftersom $|x-1|=-(x-1)$ för $x<1$ fås
$$\lim_{x\to1^-}\frac{\sqrt{x^2+8}-3}{|x-1|}
=\lim_{x\to1^-}\frac{-(x+1)}{\sqrt{x^2+8}+3}=-\frac13.$$
b) Med $\sin t=t-t^3/6+O(t^5)$ och $\ln(1+t)=t+O(t^2)$ fås
$$\frac{\pi\ln(1+x^3)-x^2\sin(\pi x)}{x^5}
=\frac{\pi^3x^5/6+O(x^6)}{x^5}\longrightarrow\frac{\pi^3}{6}.$$