Uppgift 1
Beräkna gränsvärdena
(a)
$\lim_{x\to 1^-}\frac{\sqrt{x^2+8}-3}{\lvert x-1\rvert}$
(b)
$\lim_{x\to 0}\frac{\pi\ln(1+x^3)-x^2\sin(\pi x)}{x^5}$
MM2001 · Hela analys
Tenta 2022-06-14
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Eftersom $|x-1|=-(x-1)$ för $x<1$ fås
$$\lim_{x\to1^-}\frac{\sqrt{x^2+8}-3}{|x-1|}
=\lim_{x\to1^-}\frac{-(x+1)}{\sqrt{x^2+8}+3}=-\frac13.$$
b) Med $\sin t=t-t^3/6+O(t^5)$ och $\ln(1+t)=t+O(t^2)$ fås
$$\frac{\pi\ln(1+x^3)-x^2\sin(\pi x)}{x^5}
=\frac{\pi^3x^5/6+O(x^6)}{x^5}\longrightarrow\frac{\pi^3}{6}.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
(a)
Bestäm definitionsmängd samt beräkna eventuella asymptoter och lokala extrempunkter till funktionen $f(x)=\frac{x^2}{1+\ln(x)}$, samt skissa grafen. Konvexitet behöver inte undersökas.
(b)
För vilka värden på den reella konstanten $a$ har ekvationen $f(x)=a$ en unik lösning $x$?
Visa lösningDölj lösning
a) För $f(x)=\frac{x^2}{1+\ln x}$ är
$$D_f=(0,e^{-1})\cup(e^{-1},\infty).$$
Dessutom är $\lim_{x\to0^+}f(x)=0$, medan
$$\lim_{x\to e^{-1}-}f(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to e^{-1}+}f(x)=\infty,$$
så $x=e^{-1}$ är en vertikal asymptot. Ingen sned asymptot finns, eftersom $\lim_{x\to\infty}f(x)/x=\infty$.
Vidare
$$f'(x)=\frac{x(1+2\ln x)}{(1+\ln x)^2}.$$
Det enda nollstället är $x=e^{-1/2}=1/\sqrt e$. Funktionen avtar på $(0,e^{-1})$ och $(e^{-1},1/\sqrt e)$ samt växer på $(1/\sqrt e,\infty)$. Alltså finns ett lokalt minimum med värdet $2/e$ vid $x=1/\sqrt e$.
b) Ekvationen $f(x)=a$ har precis en lösning om och endast om
$$a<0\quad\text{eller}\quad a=\frac2e.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D\frac{xe^y}{y}\,dA,$$
där området $D$ ges av $0\le x\le 1$ och $x^2\le y\le x$.
Visa lösningDölj lösning
Området kan skrivas
$$0\le y\le1,\qquad y\le x\le\sqrt y.$$
Därför
$$\begin{aligned}\iint_D\frac{xe^y}{y}\,dA
&=\int_0^1\int_y^{\sqrt y}\frac{xe^y}{y}\,dx\,dy\\
&=\frac12\int_0^1e^y(1-y)\,dy
=\frac{e-2}{2}.\end{aligned}$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värdet av funktionen
$$f(x,y)=x^2-3x+y^2-3y$$
i området som ges av $x^2+y^2\le 4$ och $y\ge 0$.
Visa lösningDölj lösning
Funktionen antar sina globala extremvärden i inre stationära punkter eller på randen. Ekvationerna
$$2x-3=0,\qquad2y-3=0$$
ger $(3/2,3/2)$, som ligger utanför området. På halvcirkeln $x^2+y^2=4$, $y>0$, sätts $x=2\cos t$, $y=2\sin t$. Då
$$h(t)=4-3(\cos t+\sin t),\qquad h'(t)=3(\sin t-\cos t),$$
så $t=\pi/4$ ger kandidaten $(\sqrt2,\sqrt2)$. På $y=0$ är
$$g(x)=x^2-3x,\qquad g'(x)=2x-3,$$
vilket ger kandidaten $(3/2,0)$; även $(\pm2,0)$ och $(0,2)$ undersöks. Funktionsvärdena är
$$4-6\sqrt2,\quad10,\quad-\frac94,\quad-2.$$
Alltså är minimum $4-6\sqrt2$ i $(\sqrt2,\sqrt2)$ och maximum $10$ i $(-2,0)$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Låt $D=\{(x,y)\mid x\ge 1,\ 0\le y\le x^{-b}\}$, där $b>0$ är en reell konstant. För vilka $b$ fås en ändlig volym om området $D$ roterar
(a)
runt $x$-axeln?
(b)
runt $y$-axeln?
Ange i förekommande fall de ändliga volymerna.
Visa lösningDölj lösning
a) Med $f(x)=x^{-b}$ blir rotationsvolymen
$$V_1=\pi\int_1^\infty x^{-2b}\,dx.$$
Integralen konvergerar om och endast om $2b>1$, det vill säga $b>\frac12$, och då
$$V_1=\frac{\pi}{2b-1}.$$
b) Med cylindriska skal fås
$$V_2=2\pi\int_1^\infty x^{1-b}\,dx.$$
Denna integral konvergerar om och endast om $b>2$, och då
$$V_2=\frac{2\pi}{b-2}.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Lös begynnelsevärdesproblemen
(a)
$y''+9y=e^{2x}$, där $y(0)=y'(0)=0$,
(b)
$(1+x)y'-y-y^2=0$, där $y(0)=1$.
Visa lösningDölj lösning
a) Den homogena lösningen till $y''+9y=0$ är
$$y_h=A\sin(3x)+B\cos(3x).$$
En partikulärlösning är $y_p=\frac1{13}e^{2x}$, så
$$y=A\sin(3x)+B\cos(3x)+\frac1{13}e^{2x}.$$
Villkoren $y(0)=y'(0)=0$ ger $A=-\frac2{39}$ och $B=-\frac1{13}$. Alltså
$$y(x)=\frac1{39}\left(3e^{2x}-2\sin(3x)-3\cos(3x)\right).$$
b) Ekvationen kan skrivas
$$\frac{y'}{y(y+1)}=\frac1{x+1}.$$
Partialbråksuppdelning och integration ger
$$\ln\left|\frac{y}{y+1}\right|=\ln|x+1|+C,$$
alltså $\frac{y}{y+1}=A(x+1)$. Villkoret $y(0)=1$ ger $A=\frac12$, och därför
$$y(x)=\frac{1+x}{1-x}.$$