Uppgift 6
Lös begynnelsevärdesproblemen
(a)
$y''+9y=e^{2x}$, där $y(0)=y'(0)=0$,
(b)
$(1+x)y'-y-y^2=0$, där $y(0)=1$.
Hela analys · 2022-06-14
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Den homogena lösningen till $y''+9y=0$ är
$$y_h=A\sin(3x)+B\cos(3x).$$
En partikulärlösning är $y_p=\frac1{13}e^{2x}$, så
$$y=A\sin(3x)+B\cos(3x)+\frac1{13}e^{2x}.$$
Villkoren $y(0)=y'(0)=0$ ger $A=-\frac2{39}$ och $B=-\frac1{13}$. Alltså
$$y(x)=\frac1{39}\left(3e^{2x}-2\sin(3x)-3\cos(3x)\right).$$
b) Ekvationen kan skrivas
$$\frac{y'}{y(y+1)}=\frac1{x+1}.$$
Partialbråksuppdelning och integration ger
$$\ln\left|\frac{y}{y+1}\right|=\ln|x+1|+C,$$
alltså $\frac{y}{y+1}=A(x+1)$. Villkoret $y(0)=1$ ger $A=\frac12$, och därför
$$y(x)=\frac{1+x}{1-x}.$$