Uppgift 5
Låt $D=\{(x,y)\mid x\ge 1,\ 0\le y\le x^{-b}\}$, där $b>0$ är en reell konstant. För vilka $b$ fås en ändlig volym om området $D$ roterar
(a)
runt $x$-axeln?
(b)
runt $y$-axeln?
Ange i förekommande fall de ändliga volymerna.
Hela analys · 2022-06-14
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
a) Med $f(x)=x^{-b}$ blir rotationsvolymen
$$V_1=\pi\int_1^\infty x^{-2b}\,dx.$$
Integralen konvergerar om och endast om $2b>1$, det vill säga $b>\frac12$, och då
$$V_1=\frac{\pi}{2b-1}.$$
b) Med cylindriska skal fås
$$V_2=2\pi\int_1^\infty x^{1-b}\,dx.$$
Denna integral konvergerar om och endast om $b>2$, och då
$$V_2=\frac{2\pi}{b-2}.$$