Hela analys · 2022-06-14
Bestäm definitionsmängd samt beräkna eventuella asymptoter och lokala extrempunkter till funktionen $f(x)=\frac{x^2}{1+\ln(x)}$, samt skissa grafen. Konvexitet behöver inte undersökas.
För vilka värden på den reella konstanten $a$ har ekvationen $f(x)=a$ en unik lösning $x$?
a) För $f(x)=\frac{x^2}{1+\ln x}$ är
$$D_f=(0,e^{-1})\cup(e^{-1},\infty).$$
Dessutom är $\lim_{x\to0^+}f(x)=0$, medan
$$\lim_{x\to e^{-1}-}f(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to e^{-1}+}f(x)=\infty,$$
så $x=e^{-1}$ är en vertikal asymptot. Ingen sned asymptot finns, eftersom $\lim_{x\to\infty}f(x)/x=\infty$.
Vidare
$$f'(x)=\frac{x(1+2\ln x)}{(1+\ln x)^2}.$$
Det enda nollstället är $x=e^{-1/2}=1/\sqrt e$. Funktionen avtar på $(0,e^{-1})$ och $(e^{-1},1/\sqrt e)$ samt växer på $(1/\sqrt e,\infty)$. Alltså finns ett lokalt minimum med värdet $2/e$ vid $x=1/\sqrt e$.
b) Ekvationen $f(x)=a$ har precis en lösning om och endast om
$$a<0\quad\text{eller}\quad a=\frac2e.$$