Uppgift 4

Funktionen antar sina globala extremvärden i inre stationära punkter eller på randen. Ekvationerna
$$2x-3=0,\qquad2y-3=0$$
ger $(3/2,3/2)$, som ligger utanför området. På halvcirkeln $x^2+y^2=4$, $y>0$, sätts $x=2\cos t$, $y=2\sin t$. Då
$$h(t)=4-3(\cos t+\sin t),\qquad h'(t)=3(\sin t-\cos t),$$
så $t=\pi/4$ ger kandidaten $(\sqrt2,\sqrt2)$. På $y=0$ är
$$g(x)=x^2-3x,\qquad g'(x)=2x-3,$$
vilket ger kandidaten $(3/2,0)$; även $(\pm2,0)$ och $(0,2)$ undersöks. Funktionsvärdena är
$$4-6\sqrt2,\quad10,\quad-\frac94,\quad-2.$$
Alltså är minimum $4-6\sqrt2$ i $(\sqrt2,\sqrt2)$ och maximum $10$ i $(-2,0)$.