Uppgift 1
Beräkna gränsvärdena
(a)
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+3}-n}{\sqrt{n^2-1}-n}$
(b)
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-\arctan^2(x)-1}{x^4}$
Hela analys · 2022-08-15
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Förläng med båda konjugatuttrycken:
$$\frac{\sqrt{n^2+3}-n}{\sqrt{n^2-1}-n}
=-3\frac{\sqrt{1-n^{-2}}+1}{\sqrt{1+3n^{-2}}+1}\longrightarrow-3.$$
b) Med
$$e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+O(x^6),\qquad\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$
fås
$$\frac{e^{x^2}-\arctan^2x-1}{x^4}
=\frac{7x^4/6+O(x^5)}{x^4}\longrightarrow\frac76.$$