Uppgift 1
Beräkna gränsvärdena
(a)
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+3}-n}{\sqrt{n^2-1}-n}$
(b)
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-\arctan^2(x)-1}{x^4}$
MM2001 · Hela analys
Tenta 2022-08-15
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Förläng med båda konjugatuttrycken:
$$\frac{\sqrt{n^2+3}-n}{\sqrt{n^2-1}-n}
=-3\frac{\sqrt{1-n^{-2}}+1}{\sqrt{1+3n^{-2}}+1}\longrightarrow-3.$$
b) Med
$$e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+O(x^6),\qquad\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$
fås
$$\frac{e^{x^2}-\arctan^2x-1}{x^4}
=\frac{7x^4/6+O(x^5)}{x^4}\longrightarrow\frac76.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Undersök lokala och globala extremvärden, konvexitetsegenskaper och asymptoter till funktionen
$$f(x)=\frac{x^2}{\lvert x+1\rvert},$$
samt skissera grafen.
Visa lösningDölj lösning
Funktionen $f(x)=\frac{x^2}{|x+1|}$ är definierad för $x\ne-1$, och $x=-1$ är en vertikal asymptot. Polynomdivision ger
$$f(x)=\begin{cases}x-1+\frac1{x+1},&x>-1,\\-x+1-\frac1{x+1},&x<-1,\end{cases}$$
så $y=x-1$ respektive $y=-x+1$ är sneda asymptoter. Dessutom
$$f'(x)=\begin{cases}\frac{x(x+2)}{(x+1)^2},&x>-1,\\-\frac{x(x+2)}{(x+1)^2},&x<-1.\end{cases}$$
Funktionen avtar på $(-\infty,-2)$ och $(-1,0)$ och växer på $(-2,-1)$ och $(0,\infty)$. Den har lokalt minimum $( -2,4)$ och globalt minimum $(0,0)$. Slutligen
$$f''(x)=\frac2{|x+1|^3}>0,$$
så grafen är konvex på båda definitionsintervallen.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D\frac{x^3y}{x^2+y^2}\,dx\,dy$, där
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x^2+y^2\le 3,\ 0\le x\le y\}.$$
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater ges området av
$$1\le r\le\sqrt3,\qquad\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2.$$
Alltså
$$\begin{aligned}\iint_D\frac{x^3y}{x^2+y^2}\,dx\,dy
&=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_1^{\sqrt3}r^3\cos^3\theta\sin\theta\,dr\,d\theta\\
&=\left[-\frac{\cos^4\theta}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/2}\left[\frac{r^4}{4}\right]_1^{\sqrt3}
=\frac18.\end{aligned}$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Låt $D$ vara området $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^3\le y\le\sqrt{x}\}$. Beräkna volymerna av de rotationskroppar som uppstår om $D$ får rotera runt $x$- respektive $y$-axlarna.
Visa lösningDölj lösning
Området ges av
$$x^3\le y\le\sqrt x,\qquad0\le x\le1.$$
Med skivformeln kring $x$-axeln fås
$$V_1=\pi\int_0^1(x-x^6)\,dx=\frac{5\pi}{14}.$$
Med cylindriska skal kring $y$-axeln fås
$$V_2=2\pi\int_0^1(x^{3/2}-x^4)\,dx=\frac{2\pi}{5}.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm det största och minsta värdet som funktionen
$$f(x,y)=x^2y^2+x^3y-4x^2y$$
antar på triangeln som begränsas av koordinataxlarna och linjen $x+y=6$.
Visa lösningDölj lösning
I det inre måste
$$0=f_x=xy(2y+3x-8),\qquad0=f_y=x^2(2y+x-4).$$
Eftersom $x,y\ne0$ fås den enda inre kandidaten $(2,1)$. På kanterna $x=0$ och $y=0$ är funktionen $0$. På den tredje sidan sätts $x=t$, $y=6-t$, $0<t<6$. Då
$$h(t)=f(t,6-t)=2t^2(6-t),\qquad h'(t)=6t(4-t),$$
så den enda ytterligare kandidaten är $(4,2)$. Kandidatvärdena är
$$f=0,\quad f(2,1)=-4,\quad f(4,2)=64.$$
Alltså är minimum $-4$ i $(2,1)$ och maximum $64$ i $(4,2)$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$xy'=y^2\ln(x)$$
som uppfyller $y(1)=1$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$y''-2y'+y=x$$
som uppfyller $y(0)=y'(0)=0$.
Visa lösningDölj lösning
a) Separation ger
$$\frac{y'}{y^2}=\frac{\ln x}{x},\qquad-\frac1y=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.$$
Villkoret $y(1)=1$ ger $C=-1$, och följaktligen
$$y(x)=\frac2{2-(\ln x)^2}.$$
b) Den homogena lösningen till $y''-2y'+y=0$ är
$$y_h=(Ax+B)e^x.$$
Med ansatsen $y_p=Cx+D$ fås $C=1$, $D=2$. Alltså
$$y=x+2+(Ax+B)e^x.$$
Villkoren $y(0)=y'(0)=0$ ger $A=1$, $B=-2$, och därmed
$$y(x)=x+2+(x-2)e^x.$$