Uppgift 3
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D\frac{x^3y}{x^2+y^2}\,dx\,dy$, där
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x^2+y^2\le 3,\ 0\le x\le y\}.$$
Hela analys · 2022-08-15
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater ges området av
$$1\le r\le\sqrt3,\qquad\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2.$$
Alltså
$$\begin{aligned}\iint_D\frac{x^3y}{x^2+y^2}\,dx\,dy
&=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_1^{\sqrt3}r^3\cos^3\theta\sin\theta\,dr\,d\theta\\
&=\left[-\frac{\cos^4\theta}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/2}\left[\frac{r^4}{4}\right]_1^{\sqrt3}
=\frac18.\end{aligned}$$