Uppgift 6
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$xy'=y^2\ln(x)$$
som uppfyller $y(1)=1$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$y''-2y'+y=x$$
som uppfyller $y(0)=y'(0)=0$.
Hela analys · 2022-08-15
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Separation ger
$$\frac{y'}{y^2}=\frac{\ln x}{x},\qquad-\frac1y=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.$$
Villkoret $y(1)=1$ ger $C=-1$, och följaktligen
$$y(x)=\frac2{2-(\ln x)^2}.$$
b) Den homogena lösningen till $y''-2y'+y=0$ är
$$y_h=(Ax+B)e^x.$$
Med ansatsen $y_p=Cx+D$ fås $C=1$, $D=2$. Alltså
$$y=x+2+(Ax+B)e^x.$$
Villkoren $y(0)=y'(0)=0$ ger $A=1$, $B=-2$, och därmed
$$y(x)=x+2+(x-2)e^x.$$