Uppgift 2

Funktionen $f(x)=\frac{x^2}{|x+1|}$ är definierad för $x\ne-1$, och $x=-1$ är en vertikal asymptot. Polynomdivision ger
$$f(x)=\begin{cases}x-1+\frac1{x+1},&x>-1,\\-x+1-\frac1{x+1},&x<-1,\end{cases}$$
så $y=x-1$ respektive $y=-x+1$ är sneda asymptoter. Dessutom
$$f'(x)=\begin{cases}\frac{x(x+2)}{(x+1)^2},&x>-1,\\-\frac{x(x+2)}{(x+1)^2},&x<-1.\end{cases}$$
Funktionen avtar på $(-\infty,-2)$ och $(-1,0)$ och växer på $(-2,-1)$ och $(0,\infty)$. Den har lokalt minimum $( -2,4)$ och globalt minimum $(0,0)$. Slutligen
$$f''(x)=\frac2{|x+1|^3}>0,$$
så grafen är konvex på båda definitionsintervallen.