Uppgift 5
Bestäm det största och minsta värdet som funktionen
$$f(x,y)=x^2y^2+x^3y-4x^2y$$
antar på triangeln som begränsas av koordinataxlarna och linjen $x+y=6$.
Hela analys · 2022-08-15
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
I det inre måste
$$0=f_x=xy(2y+3x-8),\qquad0=f_y=x^2(2y+x-4).$$
Eftersom $x,y\ne0$ fås den enda inre kandidaten $(2,1)$. På kanterna $x=0$ och $y=0$ är funktionen $0$. På den tredje sidan sätts $x=t$, $y=6-t$, $0<t<6$. Då
$$h(t)=f(t,6-t)=2t^2(6-t),\qquad h'(t)=6t(4-t),$$
så den enda ytterligare kandidaten är $(4,2)$. Kandidatvärdena är
$$f=0,\quad f(2,1)=-4,\quad f(4,2)=64.$$
Alltså är minimum $-4$ i $(2,1)$ och maximum $64$ i $(4,2)$.