Hela analys · 2022-12-16
Undersök lokala och globala extremvärden och asymptoter till funktionen
$$f(x)=\arctan(x)+\frac{1}{x+1},$$
samt skissera grafen. Bestäm för vilka $a\in V_f$ (dvs i värdemängden till $f$) som ekvationen $f(x)=a$ inte har unik lösning $x$.
Konvexitetsegenskaper behöver inte utredas.
Den kontinuerliga funktionen $f(x)=\arctan(x)+\frac1{x+1}$ är definierad då $x\ne-1$. Den enda möjliga vertikala asymptoten är därmed $x=-1$, och eftersom vi får $\lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty$ och $\lim_{x\to-1^+}f(x)=\infty$ så $x=-1$ är en asymptot. Vi får vidare att $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\pi/2$, så $y=\pi/2$ och $y=-\pi/2$ är horisontella asymptoter.
Derivering ger
$$f'(x)=\frac1{1+x^2}-\frac1{(x+1)^2}=\frac{2x}{(1+x^2)(1+x)^2},$$
så $f'(x)=0$ om och endast om $x=0$. Vi gör en teckentabell
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-1&&0&\\\hline f'&-&\text{ej def.}&-&0&+\\f&\searrow&\text{ej def.}&\searrow&1&\nearrow\end{array}$$
Från teckentabellen ser vi att funktionen bara har en lokal extrempunkt, ett lokalt minimum för $x=0$. Vi skissar grafen, från vilken vi kan dra slutsatsen att de $a\in V_f$ där ekvationen $f(x)=a$ inte har en unik lösning är $a$ med $1<a<\pi/2$.