Uppgift 1
(a)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+a}-n}{\sqrt{n^2-3}-n}$, där $a$ är en reell konstant.
(b)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)-x^2}{2\cos(x)-e^{-x^2}-1}$.
Hela analys · 2023-05-17
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Förläng täljare och nämnare med sina konjugatuttryck:
$$\frac{\sqrt{n^2+a}-n}{\sqrt{n^2-3}-n}=\frac{a}{-3}\cdot\frac{\sqrt{n^2-3}+n}{\sqrt{n^2+a}+n}$$
$$=-\frac a3\cdot\frac{\sqrt{1-3/n^2}+1}{\sqrt{1+a/n^2}+1}\longrightarrow-\frac a3.$$
b) Med standardutvecklingar erhålls
$$\sin^2x-x^2=-\frac{x^4}{3}+O(x^6),$$
$$2\cos x-e^{-x^2}-1=-\frac{5x^4}{12}+O(x^6).$$
Därför
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x-x^2}{2\cos x-e^{-x^2}-1}=\frac{-1/3}{-5/12}=\frac45.$$