Uppgift 1
(a)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+a}-n}{\sqrt{n^2-3}-n}$, där $a$ är en reell konstant.
(b)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)-x^2}{2\cos(x)-e^{-x^2}-1}$.
MM2001 · Hela analys
Tenta 2023-05-17
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Förläng täljare och nämnare med sina konjugatuttryck:
$$\frac{\sqrt{n^2+a}-n}{\sqrt{n^2-3}-n}=\frac{a}{-3}\cdot\frac{\sqrt{n^2-3}+n}{\sqrt{n^2+a}+n}$$
$$=-\frac a3\cdot\frac{\sqrt{1-3/n^2}+1}{\sqrt{1+a/n^2}+1}\longrightarrow-\frac a3.$$
b) Med standardutvecklingar erhålls
$$\sin^2x-x^2=-\frac{x^4}{3}+O(x^6),$$
$$2\cos x-e^{-x^2}-1=-\frac{5x^4}{12}+O(x^6).$$
Därför
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x-x^2}{2\cos x-e^{-x^2}-1}=\frac{-1/3}{-5/12}=\frac45.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Undersök lokala och globala extremvärden, konvexitetsegenskaper och asymptoter till funktionen
$$f(x)=\frac{e^x}{\lvert x-1\rvert},$$
samt skissera grafen.
Visa lösningDölj lösning
Funktionen
$$f(x)=\frac{e^x}{|x-1|}$$
är definierad för $x\ne1$. Eftersom $f(x)\to\infty$ då $x\to1$, är $x=1$ en lodrät asymptot. Vidare gäller
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,$$
alltså är $y=0$ en horisontell asymptot då $x\to-\infty$. Ingen rätlinjig asymptot finns då $x\to\infty$.
Derivatan är
$$f'(x)=\begin{cases}\dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2},&x>1,\\-\dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2},&x<1.\end{cases}$$
Den enda stationära punkten är $x=2$, där
$$f(2)=e^2,$$
vilket är ett lokalt minimum. Dessutom är $f''(x)>0$ för $x\ne1$, så grafen är konvex på vart och ett av intervallen $(-\infty,1)$ och $(1,\infty)$. Globalt minimum och globalt maximum saknas.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Bestäm för varje $a\in\mathbb{R}$ antalet lösningar $x$ till ekvationen
$$4\ln(x)-6x+x^2=a.$$
Visa lösningDölj lösning
Sätt
$$f(x)=4\ln x-6x+x^2,\qquad x>0.$$
Då
$$f'(x)=\frac4x-6+2x=\frac{2(x-1)(x-2)}x.$$
Alltså har $f$ ett lokalt maximum $f(1)=-5$ och ett lokalt minimum
$$f(2)=4\ln2-8.$$
Dessutom är $f(x)\to-\infty$ då $x\to0^+$ och $f(x)\to\infty$ då $x\to\infty$. Ekvationen $f(x)=a$ har därför tre lösningar om
$$4\ln2-8<a<-5,$$
två lösningar om
$$a=4\ln2-8\quad\text{eller}\quad a=-5,$$
och exakt en lösning för alla övriga $a$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värdet som funktionen
$$f(x,y)=x^2+2y^2-x$$
antar i cirkelskivan $x^2+y^2\le 1$.
Visa lösningDölj lösning
På enhetscirkelskivan är
$$f(x,y)=x^2+2y^2-x.$$
Den inre stationära punkten bestäms av
$$f_x=2x-1=0,\qquad f_y=4y=0,$$
alltså $(x,y)=(1/2,0)$, där $f=-1/4$. På randen kan vi sätta $x=\cos t$, $y=\sin t$. Då
$$h(t)=f(\cos t,\sin t)=\cos^2t+2\sin^2t-\cos t,$$
$$h'(t)=\sin t(2\cos t+1).$$
Kandidaterna ger värdena $0$, $2$ och $9/4$. Alltså är
$$\min f=-\frac14\quad\text{vid }(1/2,0),$$
$$\max f=\frac94\quad\text{vid }(-1/2,\pm\sqrt3/2).$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D e^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy$, där
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x^2+y^2\le 4,\ y\le\lvert x\rvert\}.$$
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater beskrivs området av
$$1\le r\le2,\qquad\frac{3\pi}{4}\le\theta\le\frac{9\pi}{4}.$$
Alltså
$$\iint_D e^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy=\int_{3\pi/4}^{9\pi/4}\int_1^2e^r r\,dr\,d\theta$$
$$=\frac{3\pi}{2}\left[(r-1)e^r\right]_1^2=\frac{3\pi e^2}{2}.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$y'\ln(y)=xy$$
som uppfyller $y(0)=e$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$xy'=x^2-2y,$$
för $x>0$, som uppfyller $y(1)=0$.
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen kan skrivas
$$\frac{\ln y}{y}y'=x.$$
Integration ger
$$\int\frac{\ln y}{y}\,dy=\int x\,dx,\qquad\frac{(\ln y)^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C.$$
Villkoret $y(0)=e$ ger $C=1/2$. Den gren som uppfyller begynnelsevillkoret är
$$\ln y=\sqrt{1+x^2},$$
alltså
$$y(x)=e^{\sqrt{1+x^2}}.$$
b) För $x>0$ skrivs ekvationen som
$$y'+\frac2x y=x.$$
Med integrerande faktor $x^2$ fås
$$\left(x^2y\right)'=x^3.$$
Därför är
$$x^2y=\frac{x^4}{4}+C.$$
Villkoret $y(1)=0$ ger $C=-1/4$, och följaktligen
$$y(x)=\frac{x^4-1}{4x^2}.$$