Uppgift 2

Funktionen

$$f(x)=\frac{e^x}{|x-1|}$$

är definierad för $x\ne1$. Eftersom $f(x)\to\infty$ då $x\to1$, är $x=1$ en lodrät asymptot. Vidare gäller

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,$$

alltså är $y=0$ en horisontell asymptot då $x\to-\infty$. Ingen rätlinjig asymptot finns då $x\to\infty$.

Derivatan är

$$f'(x)=\begin{cases}\dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2},&x>1,\\-\dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2},&x<1.\end{cases}$$

Den enda stationära punkten är $x=2$, där

$$f(2)=e^2,$$

vilket är ett lokalt minimum. Dessutom är $f''(x)>0$ för $x\ne1$, så grafen är konvex på vart och ett av intervallen $(-\infty,1)$ och $(1,\infty)$. Globalt minimum och globalt maximum saknas.