Uppgift 3

Sätt

$$f(x)=4\ln x-6x+x^2,\qquad x>0.$$

Då

$$f'(x)=\frac4x-6+2x=\frac{2(x-1)(x-2)}x.$$

Alltså har $f$ ett lokalt maximum $f(1)=-5$ och ett lokalt minimum

$$f(2)=4\ln2-8.$$

Dessutom är $f(x)\to-\infty$ då $x\to0^+$ och $f(x)\to\infty$ då $x\to\infty$. Ekvationen $f(x)=a$ har därför tre lösningar om

$$4\ln2-8<a<-5,$$

två lösningar om

$$a=4\ln2-8\quad\text{eller}\quad a=-5,$$

och exakt en lösning för alla övriga $a$.