Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D e^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy$, där
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x^2+y^2\le 4,\ y\le\lvert x\rvert\}.$$
Hela analys · 2023-05-17
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater beskrivs området av
$$1\le r\le2,\qquad\frac{3\pi}{4}\le\theta\le\frac{9\pi}{4}.$$
Alltså
$$\iint_D e^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy=\int_{3\pi/4}^{9\pi/4}\int_1^2e^r r\,dr\,d\theta$$
$$=\frac{3\pi}{2}\left[(r-1)e^r\right]_1^2=\frac{3\pi e^2}{2}.$$