Uppgift 6
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$y'\ln(y)=xy$$
som uppfyller $y(0)=e$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$xy'=x^2-2y,$$
för $x>0$, som uppfyller $y(1)=0$.
Hela analys · 2023-05-17
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen kan skrivas
$$\frac{\ln y}{y}y'=x.$$
Integration ger
$$\int\frac{\ln y}{y}\,dy=\int x\,dx,\qquad\frac{(\ln y)^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C.$$
Villkoret $y(0)=e$ ger $C=1/2$. Den gren som uppfyller begynnelsevillkoret är
$$\ln y=\sqrt{1+x^2},$$
alltså
$$y(x)=e^{\sqrt{1+x^2}}.$$
b) För $x>0$ skrivs ekvationen som
$$y'+\frac2x y=x.$$
Med integrerande faktor $x^2$ fås
$$\left(x^2y\right)'=x^3.$$
Därför är
$$x^2y=\frac{x^4}{4}+C.$$
Villkoret $y(1)=0$ ger $C=-1/4$, och följaktligen
$$y(x)=\frac{x^4-1}{4x^2}.$$