Uppgift 4

På enhetscirkelskivan är

$$f(x,y)=x^2+2y^2-x.$$

Den inre stationära punkten bestäms av

$$f_x=2x-1=0,\qquad f_y=4y=0,$$

alltså $(x,y)=(1/2,0)$, där $f=-1/4$. På randen kan vi sätta $x=\cos t$, $y=\sin t$. Då

$$h(t)=f(\cos t,\sin t)=\cos^2t+2\sin^2t-\cos t,$$

$$h'(t)=\sin t(2\cos t+1).$$

Kandidaterna ger värdena $0$, $2$ och $9/4$. Alltså är

$$\min f=-\frac14\quad\text{vid }(1/2,0),$$

$$\max f=\frac94\quad\text{vid }(-1/2,\pm\sqrt3/2).$$