Uppgift 1
(a)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{n\to\infty}n^3\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}\right)$.
(b)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to 0}\frac{\pi\arctan(x)-\arctan(\pi x)}{2\sin(x)-\sin(2x)}$.
Hela analys · 2023-08-15
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Förläng med konjugatuttrycket:
$$\begin{aligned}n^3\left(\frac1n-\frac1{\sqrt{n^2+4}}\right)
&=\frac{4n^2}{\sqrt{n^2+4}\,(\sqrt{n^2+4}+n)}\\
&=\frac4{\sqrt{1+4/n^2}\,(\sqrt{1+4/n^2}+1)}
\longrightarrow2.\end{aligned}$$
b) Med standardutvecklingarna för $\sin$ och $\arctan$ fås
$$\frac{\pi\arctan x-\arctan(\pi x)}{2\sin x-\sin(2x)}
=\frac{(\pi^3-\pi)x^3/3+O(x^5)}{x^3+O(x^5)}
\longrightarrow\frac{\pi^3-\pi}{3}.$$