Uppgift 1
(a)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{n\to\infty}n^3\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}\right)$.
(b)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to 0}\frac{\pi\arctan(x)-\arctan(\pi x)}{2\sin(x)-\sin(2x)}$.
MM2001 · Hela analys
Tenta 2023-08-15
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Förläng med konjugatuttrycket:
$$\begin{aligned}n^3\left(\frac1n-\frac1{\sqrt{n^2+4}}\right)
&=\frac{4n^2}{\sqrt{n^2+4}\,(\sqrt{n^2+4}+n)}\\
&=\frac4{\sqrt{1+4/n^2}\,(\sqrt{1+4/n^2}+1)}
\longrightarrow2.\end{aligned}$$
b) Med standardutvecklingarna för $\sin$ och $\arctan$ fås
$$\frac{\pi\arctan x-\arctan(\pi x)}{2\sin x-\sin(2x)}
=\frac{(\pi^3-\pi)x^3/3+O(x^5)}{x^3+O(x^5)}
\longrightarrow\frac{\pi^3-\pi}{3}.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Undersök lokala och globala extremvärden, konvexitetsegenskaper och asymptoter till funktionen
$$f(x)=\frac{x^2-3\lvert x\rvert}{x-1},$$
samt skissera grafen. Bestäm även funktionens värdemängd.
Visa lösningDölj lösning
För $f(x)=\frac{x^2-3|x|}{x-1}$ är $x=1$ en vertikal asymptot. Polynomdivision ger
$$f(x)=\begin{cases}x-2-\frac2{x-1},&x>0,\\x+4-\frac4{x-1},&x<0,\end{cases}$$
så $y=x-2$ respektive $y=x+4$ är sneda asymptoter. Vidare
$$f'(x)=\begin{cases}1+\frac2{(x-1)^2},&x>0,\\1-\frac4{(x-1)^2},&x<0,\end{cases}\qquad
f''(x)=\begin{cases}-\frac4{(x-1)^3},&x>0,\\\frac8{(x-1)^3},&x<0.\end{cases}$$
Alltså finns ett lokalt maximum $f(-1)=1$ och ett lokalt minimum $f(0)=0$. Funktionen är konkav på $(-\infty,0)$ och $(1,\infty)$ samt konvex på $(0,1)$. Grenen $(1,\infty)$ antar alla reella värden, så värdemängden är $\mathbb R$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D\sin(y^2)\,dx\,dy$, där $D$ är området som består av de punkter $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ som uppfyller $2\lvert x\rvert\le y\le\sqrt{\pi}$.
Visa lösningDölj lösning
Området beskrivs av
$$0\le y\le\sqrt\pi,\qquad-\frac y2\le x\le\frac y2.$$
Därmed
$$\begin{aligned}\iint_D\sin(y^2)\,dx\,dy
&=\int_0^{\sqrt\pi}\int_{-y/2}^{y/2}\sin(y^2)\,dx\,dy\\
&=\int_0^{\sqrt\pi}y\sin(y^2)\,dy
=\frac12\int_0^\pi\sin t\,dt=1.\end{aligned}$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Låt $D$ vara området
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\ge x^4\text{ och }x\ge y^2\}.$$
Beräkna volymerna av de rotationskroppar som uppstår om $D$ får rotera runt $x$- respektive $y$-axeln.
Visa lösningDölj lösning
Kurvorna $y=x^4$ och $x=y^2$ skär varandra för $x=0,1$, och området är
$$x^4\le y\le\sqrt x,\qquad0\le x\le1.$$
Med skivformeln kring $x$-axeln fås
$$V_1=\pi\int_0^1(x-x^8)\,dx=\frac{7\pi}{18}.$$
Med cylindriska skal kring $y$-axeln fås
$$V_2=2\pi\int_0^1(x^{3/2}-x^5)\,dx=\frac{7\pi}{15}.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm det största och minsta värdet som funktionen
$$f(x,y)=x^2-y^2+\ln(x^2+y^2)$$
antar på området $1\le x^2+y^2\le 4$.
Visa lösningDölj lösning
Inre stationära punkter skulle uppfylla
$$0=2x+\frac{2x}{x^2+y^2},\qquad0=-2y+\frac{2y}{x^2+y^2}.$$
Detta kan inte ske samtidigt i det inre. På $x^2+y^2=4$ sätts $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, vilket ger
$$h(t)=4\cos^2t-4\sin^2t+\ln4,\qquad h'(t)=-8\sin(2t).$$
Kandidaterna är $(\pm2,0)$ och $(0,\pm2)$; på cirkeln $x^2+y^2=1$ fås $(\pm1,0)$ och $(0,\pm1)$. Funktionsvärdena är
$$4+\ln4,\quad-4+\ln4,\quad-1,\quad1.$$
Alltså är maximum $4+\ln4$ i $(\pm2,0)$ och minimum $-4+\ln4$ i $(0,\pm2)$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$(1+x^2)y'+2xy=xy^2,$$
som uppfyller $y(0)=1$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$y''-3y'+2y=e^{-x}$$
som uppfyller $y(0)=y'(0)=0$.
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen kan skrivas
$$\frac{y'}{y(y-2)}=\frac{x}{1+x^2}.$$
Partialbråksuppdelning och integration ger
$$\frac12\ln\left|\frac{y-2}{y}\right|=\frac12\ln(1+x^2)+C.$$
Villkoret $y(0)=1$ ger $\frac{y-2}{y}=-(1+x^2)$, alltså
$$y(x)=\frac2{2+x^2}.$$
b) Den homogena lösningen till $y''-3y'+2y=0$ är
$$y_h=Ae^x+Be^{2x}.$$
En partikulärlösning är $y_p=\frac16e^{-x}$, så
$$y=\frac16e^{-x}+Ae^x+Be^{2x}.$$
Villkoren $y(0)=y'(0)=0$ ger $A=-\frac12$ och $B=\frac13$. Därför
$$y(x)=\frac16\left(e^{-x}-3e^x+2e^{2x}\right).$$