Uppgift 4
Låt $D$ vara området
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\ge x^4\text{ och }x\ge y^2\}.$$
Beräkna volymerna av de rotationskroppar som uppstår om $D$ får rotera runt $x$- respektive $y$-axeln.
Hela analys · 2023-08-15
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Kurvorna $y=x^4$ och $x=y^2$ skär varandra för $x=0,1$, och området är
$$x^4\le y\le\sqrt x,\qquad0\le x\le1.$$
Med skivformeln kring $x$-axeln fås
$$V_1=\pi\int_0^1(x-x^8)\,dx=\frac{7\pi}{18}.$$
Med cylindriska skal kring $y$-axeln fås
$$V_2=2\pi\int_0^1(x^{3/2}-x^5)\,dx=\frac{7\pi}{15}.$$