Uppgift 2

För $f(x)=\frac{x^2-3|x|}{x-1}$ är $x=1$ en vertikal asymptot. Polynomdivision ger
$$f(x)=\begin{cases}x-2-\frac2{x-1},&x>0,\\x+4-\frac4{x-1},&x<0,\end{cases}$$
så $y=x-2$ respektive $y=x+4$ är sneda asymptoter. Vidare
$$f'(x)=\begin{cases}1+\frac2{(x-1)^2},&x>0,\\1-\frac4{(x-1)^2},&x<0,\end{cases}\qquad f''(x)=\begin{cases}-\frac4{(x-1)^3},&x>0,\\\frac8{(x-1)^3},&x<0.\end{cases}$$
Alltså finns ett lokalt maximum $f(-1)=1$ och ett lokalt minimum $f(0)=0$. Funktionen är konkav på $(-\infty,0)$ och $(1,\infty)$ samt konvex på $(0,1)$. Grenen $(1,\infty)$ antar alla reella värden, så värdemängden är $\mathbb R$.