Uppgift 6
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$(1+x^2)y'+2xy=xy^2,$$
som uppfyller $y(0)=1$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen
$$y''-3y'+2y=e^{-x}$$
som uppfyller $y(0)=y'(0)=0$.
Hela analys · 2023-08-15
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen kan skrivas
$$\frac{y'}{y(y-2)}=\frac{x}{1+x^2}.$$
Partialbråksuppdelning och integration ger
$$\frac12\ln\left|\frac{y-2}{y}\right|=\frac12\ln(1+x^2)+C.$$
Villkoret $y(0)=1$ ger $\frac{y-2}{y}=-(1+x^2)$, alltså
$$y(x)=\frac2{2+x^2}.$$
b) Den homogena lösningen till $y''-3y'+2y=0$ är
$$y_h=Ae^x+Be^{2x}.$$
En partikulärlösning är $y_p=\frac16e^{-x}$, så
$$y=\frac16e^{-x}+Ae^x+Be^{2x}.$$
Villkoren $y(0)=y'(0)=0$ ger $A=-\frac12$ och $B=\frac13$. Därför
$$y(x)=\frac16\left(e^{-x}-3e^x+2e^{2x}\right).$$