Uppgift 5

Inre stationära punkter skulle uppfylla
$$0=2x+\frac{2x}{x^2+y^2},\qquad0=-2y+\frac{2y}{x^2+y^2}.$$
Detta kan inte ske samtidigt i det inre. På $x^2+y^2=4$ sätts $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, vilket ger
$$h(t)=4\cos^2t-4\sin^2t+\ln4,\qquad h'(t)=-8\sin(2t).$$
Kandidaterna är $(\pm2,0)$ och $(0,\pm2)$; på cirkeln $x^2+y^2=1$ fås $(\pm1,0)$ och $(0,\pm1)$. Funktionsvärdena är
$$4+\ln4,\quad-4+\ln4,\quad-1,\quad1.$$
Alltså är maximum $4+\ln4$ i $(\pm2,0)$ och minimum $-4+\ln4$ i $(0,\pm2)$.