Uppgift 1
Följande ska lösas för $x \in \setR$.
(a)
Lös olikheten $(x - 1)^2 (x - 4) (x - 6) \geq 0$.
(b)
Lös olikheten $|x-2|\cdot |x-5| \geq 10 $.
(c)
Gäller implikationen $|x-2|\cdot |x-5| \geq 10 \implies (x - 1)^2 (x - 4) (x - 6) \geq 0$?
Diskret matematik · 2025-08-12
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
- Teckentabell ger \[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,1) & (1,4) & (4,6) & (6,\infty) \\ \hline \text{Tecken} & + & + & - & + \\ \end{array} \] Olikheten gäller då $x \leq 4$ och då $x \geq 6$.
- För den andra olikheten så fås tre intervall baserat på brytpunkterna \( x = 2 \) och \( x = 5 \).
Fall 1: \( x \leq 2 \). Då är både \( x - 2 \leq 0 \) och \( x - 5 \leq 0 \), så \[ |x - 2||x - 5| = (2 - x)(5 - x). \] Detta leder till olikheten $(2 - x)(5 - x) \geq 10$, och \[ (2 - x)(5 - x) \geq 10 \implies x^2 - 7x \geq 0 \implies x(x - 7) \geq 0. \] Olikheten löses då av $x\leq 0$ eller $x \geq 7$. Men eftersom vi i Fall 1 är i intervallet \( x \leq 2 \) får vi bara lösningarna $x \leq 0$.
Fall 2: \( 2 \leq x \leq 5 \). Vänsterledet är $-(x - 2)(x - 5)$ och olikheten blir \[ -(x - 2)(x - 5) \geq 10 \implies x^2 - 7x + 20 \leq 0 \implies (x - \tfrac{7}{2})^2 - \tfrac{49}{4} + 20 \leq 0. \] Men här saknas lösning, eftersom vänsterledet alltid är positivt.
Fall 3: \( x \geq 5 \). Olikheten blir samma som i Fall 1, men nu får vi lösningarna $x \geq 7$.
Sammanfattningsvis löses olikheten av de $x$ som uppfyller \[ x\leq 0 \text{ eller } x \geq 7. \] - Vi undersöker om \[
|x - 2||x - 5| \geq 10 \quad \implies \quad (x - 1)^2(x - 4)(x - 6) \geq 0.
\]
Från (b): Mängden där vänstra sidan är sann är $ (-\infty,0] \cup [7,\infty). $ Från (a): Mängden där högra sidan är sann är $ (-\infty,4] \cup [6,\infty). $ Vi ser då att om $x$ ligger i den första mängden, så ingår den i den andra mängden också. Alltså gäller implikationen.