Diskret matematik · 2025-10-22

Uppgift 1

Uppgift 1

(a)

Utgå ifrån att $a,b \in \setZ$. Är påståendet ``Om $ab$ är delbart med $8$, så är $a$ eller $b$ delbart med 8'' sant? Bevisa eller ge ett motexempel.

(b)

Bestäm en reell lösning till ekvationen $x^4+2 x^3+5 x^2+17 x+14=0$.

(c)

Ge exempel på ett tal som tillhör mängden \[ \{z \in \setN \quad : \quad z > 42 \; \wedge \; \exists x,y \in \setZ : z = x^3+y^3 \}. \]

Visa lösningDölj lösning

Falskt. Motexempel: $a=2$, $b=4$. Då är $ab=8$ delbart med $8$, men varken $2$ eller $4$ är delbart med $8$.
Prova heltalsrötter (delare till 14). För $x=-2$: $(-2)^4+2(-2)^3+5(-2)^2+17(-2)+14=16-16+20-34+14=0$. Alltså är $x=-2$ en reell lösning.
Exempel: $z=3^3+3^3=27+27=54>42$.