Tenta 2025-10-22

Vi delar först båda led med $\SGD(35,21)=7$ och får ekvationen $7x+5y=300$. Nu har vi att $\SGD(5,3)=1$, så ekvationen har lösningar.

1. Vi löser först $5x+3y=1$. Man kan direkt se att $x=-1$, $y=2$ ger en lösning, så $x=-300$, $y=2\cdot 300=600$ är en lösning till ursprungliga ekvationen. Allmän lösning är då \[ \begin{cases} x = & 3k-300 \\ y = & 600-5k, \end{cases}\qquad k\in\mathbb Z. \]
2. Positivitetsvillkor: $x\geq 0$ och $y \geq 0$ ger $100 \leq k \leq 120$, så vi har $21$ lösningar där $x,y \geq 0$.
3. Den lösning med minsta $x$ är $(0,100)$ och den med störst $x$ är $(60,0)$ Formeln för aritmetisk summa ger då att summan av alla de $21$ värden som ingår är $\frac{0+60}{2}\cdot 21 = 630$.

Kvadratkomplettering ger oss \[ \left(z-3\right)^2 - 9 + 36+36i = 0 \iff w^2 = 9(-3 - 4i), \] där $w = z-3$. Om vi sätter $w = a+ib$ och jämför realdel, imaginärdel samt absolutbelopp, får vi \[\begin{aligned} \begin{cases} a^2-b^2 &= 9\cdot (-3) \\ 2ab &= 9\cdot (-4) \\ a^2+b^2 &= \sqrt{ 9^2\left( (-3)^2+(-4)^2 \right) } = 9\cdot 5. \end{cases} \end{aligned}\] Första och sista ekvationen ger $2a^2 = 18$, så $a=\pm 3$ och detta ger $b = \mp 6$. Alltså, $w_1 = 3-6i$, $w_2 = -3+6i$. Detta leder slutligen till lösningarna \[ z_1 = 6-6i, \; z_2 = 6i. \]

Låt \[\begin{aligned} S_6 &= \{6,12,18,\dotsc,144\}\\ S_{8} &= \{8,16,24,\dotsc,144\}\\ S_9 &= \{9,18,27,\dotsc,144\}. \end{aligned}\]

1. Schäfern och taxen besöker $S_6 \cap S_8$, vilket är var 24e stolpe. $144/24 = 6$, så 6 stolpar totalt.
2. Här söker vi $S_6 \cap S_8 \cap S_{9}$. Minsta gemensamma multipel av $6$, $8$ och $9$ är $72$, så bara stolpe nummer $72$ och $144$ får besök av alla tre hundar.
3. Vi har att \[\begin{aligned} |S_6| = 144/6 = 24 &&& |S_6 \cap S_8| = 6 \\ |S_8| = 144/8 = 18 &&& |S_6 \cap S_9| = 8\\ |S_9| = 144/9 = 16 &&& |S_8 \cap S_9| = 2. \end{aligned}\] Inklusion-exklusion ger nu att de stolpar som inte besöks är totalt \[ 144 - (24+18+16) + (6+8+2) - 2 = 100. \]