Diskret matematik · 2025-10-22

Uppgift 4

Uppgift 4

Agda, Berit och Gerd går på en gemensam promenad med sina hundar längs en gata med $144$ lyktstolpar. Agda har en tax, Berit har en schäfer och Gerd har en ny pudel. Taxen kissar på var 6e stolpe, schäfern kissar på var 8e stolpe och pudeln nöjer sig med att kissa på var 9e stolpe. Du ska utgå ifrån att alla tre hundar kissar på den sista stolpen.

(a)

På hur många lyktstolpar kissar både taxen och schäfern?

(b)

Hur många lyktstolpar kissas på av alla tre hundar?

(c)

Hur många lyktstolpar förblir torra efter promenaden?

Visa lösningDölj lösning

Låt \[\begin{aligned} S_6 &= \{6,12,18,\dotsc,144\}\\ S_{8} &= \{8,16,24,\dotsc,144\}\\ S_9 &= \{9,18,27,\dotsc,144\}. \end{aligned}\]

Schäfern och taxen besöker $S_6 \cap S_8$, vilket är var 24e stolpe. $144/24 = 6$, så 6 stolpar totalt.
Här söker vi $S_6 \cap S_8 \cap S_{9}$. Minsta gemensamma multipel av $6$, $8$ och $9$ är $72$, så bara stolpe nummer $72$ och $144$ får besök av alla tre hundar.
Vi har att \[\begin{aligned} |S_6| = 144/6 = 24 &&& |S_6 \cap S_8| = 6 \\ |S_8| = 144/8 = 18 &&& |S_6 \cap S_9| = 8\\ |S_9| = 144/9 = 16 &&& |S_8 \cap S_9| = 2. \end{aligned}\] Inklusion-exklusion ger nu att de stolpar som inte besöks är totalt \[ 144 - (24+18+16) + (6+8+2) - 2 = 100. \]