Diskret matematik · 2025-10-22

Uppgift 5

Hela tentan

Uppgift 5

(a)

Rita av Venn-diagrammet

Three overlapping circles labeled A, B, and C form a Venn diagram; the question asks for a set expression involving the complement of A union B union C and C.

och illustrera mängden $( A^c \cup B \cup C)^c \; \cup \; C.$

Kom ihåg att $X^c$ betyder komplementet till $X$.

(b)

Visa att följande logiska uttryck är ekvivalenta: \[ \neg (\neg P \, \vee \, Q \, \vee \, R) \; \vee \; R \] och \[ \neg( P \,\wedge\, Q \,\wedge\, \neg R) \quad \wedge \quad \neg(\neg P \,\wedge\, Q \,\wedge\, \neg R) \quad \wedge \quad \neg(\neg P \,\wedge\, \neg Q \,\wedge \, \neg R). \]

Visa lösningDölj lösning

Venn-diagrammet ser ut som följande:
Sätter man upp en sanningstabell, får man följande. Det är lämpligt att ha med deluttryck också. Alternativt kan man utnyttja (a) och notera att $A \leftrightarrow P$, $B \leftrightarrow Q$ samt $C \leftrightarrow R$ översätter från Venn-diagrammet till första uttrycket i (b). \[ \begin{array}{c c c|c|c} P & Q & R & \neg(\neg P \vee Q \vee R)\ \vee\ R & \text{Det andra uttrycket}\\ \hline F&F&F&F&F\\ F&F&T&T&T\\ F&T&F&F&F\\ F&T&T&T&T\\ T&F&F&T&T\\ T&F&T&T&T\\ T&T&F&F&F\\ T&T&T&T&T\\ \end{array} \] Det andra uttrycket i (b) kan tolkas som ``måste vara utanför'' för tre av områdena i Venn-diagrammet, nämligen utanför $A \cap B \cap C^c$, utanför $A^c \cap B \cap C^c$ och utanför $A^c \cap B^c \cap C^c$. Det vill säga, det andra uttrycket är precis ``vi är utanför de oskuggade områdena'' som är ekvivalent med ``är inuti det skuggade''.