Uppgift 3

Kvadratkomplettering ger oss \[ \left(z-3\right)^2 - 9 + 36+36i = 0 \iff w^2 = 9(-3 - 4i), \] där $w = z-3$. Om vi sätter $w = a+ib$ och jämför realdel, imaginärdel samt absolutbelopp, får vi \[\begin{aligned} \begin{cases} a^2-b^2 &= 9\cdot (-3) \\ 2ab &= 9\cdot (-4) \\ a^2+b^2 &= \sqrt{ 9^2\left( (-3)^2+(-4)^2 \right) } = 9\cdot 5. \end{cases} \end{aligned}\] Första och sista ekvationen ger $2a^2 = 18$, så $a=\pm 3$ och detta ger $b = \mp 6$. Alltså, $w_1 = 3-6i$, $w_2 = -3+6i$. Detta leder slutligen till lösningarna \[ z_1 = 6-6i, \; z_2 = 6i. \]