Uppgift 1

(a) Vi söker heltal på formen $n=7k+3$ för något heltal $k$ som ligger i intervallet $10<n<30$. Vi testar olika värden på $k$: $k=1$ ger $n=10$, vilket inte är strikt större än $10$; $k=2$ ger $n=17$; $k=3$ ger $n=24$; och $k=4$ ger $n=31$, som är för stort. Svar: $n=17$ och $n=24$.

(b) Vi söker $3^{42}\pmod{10}$. Sista siffran i potenser av $3$ har period $4$: $3^1\equiv3$, $3^2\equiv9$, $3^3\equiv7$, $3^4\equiv1\pmod{10}$. Eftersom $42=4\cdot10+2$ får vi $3^{42}\equiv3^2\equiv9\pmod{10}$. Svar: resten är $9$.

(c) Låt $P(x)$ vara ett polynom. Då är $x-a$ en faktor i $P(x)$ om och endast om $P(a)=0$. Det vill säga, $a$ är ett nollställe till polynomet om och endast om polynomet är delbart med $x-a$.