Uppgift 1
(a)
Ange två heltal $n$ sådana att $n \equiv 3 \pmod{7}$ och $10 < n < 30$.
(b)
Bestäm resten då $3^{42}$ delas med $10$.
(c)
Formulera faktorsatsen för polynom.
MM2001 · Diskret matematik
Tenta 2026-03-12
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Vi söker heltal på formen $n=7k+3$ för något heltal $k$ som ligger i intervallet $10<n<30$. Vi testar olika värden på $k$: $k=1$ ger $n=10$, vilket inte är strikt större än $10$; $k=2$ ger $n=17$; $k=3$ ger $n=24$; och $k=4$ ger $n=31$, som är för stort. Svar: $n=17$ och $n=24$.
(b) Vi söker $3^{42}\pmod{10}$. Sista siffran i potenser av $3$ har period $4$: $3^1\equiv3$, $3^2\equiv9$, $3^3\equiv7$, $3^4\equiv1\pmod{10}$. Eftersom $42=4\cdot10+2$ får vi $3^{42}\equiv3^2\equiv9\pmod{10}$. Svar: resten är $9$.
(c) Låt $P(x)$ vara ett polynom. Då är $x-a$ en faktor i $P(x)$ om och endast om $P(a)=0$. Det vill säga, $a$ är ett nollställe till polynomet om och endast om polynomet är delbart med $x-a$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
(a)
Bestäm $\operatorname{SGD}(132, 180)$ med Euklides algoritm.
(b)
Hitta alla icke-negativa heltalslösningar till $11x + 15y = 135$.
(c)
Bestäm det minsta positiva heltal $b$ för vilket ekvationen $132x + 180y = b$ har heltalslösningar, samt finn en lösning.
Visa lösningDölj lösning
(a) Euklides algoritm ger $180=1\cdot132+48$, $132=2\cdot48+36$, $48=1\cdot36+12$ och $36=3\cdot12+0$. Den sista icke-försvinnande resten är $12$. Svar: $\operatorname{SGD}(132,180)=12$.
(b) Vi skriver $11x=135-15y=15(9-y)$. Eftersom $\operatorname{SGD}(11,15)=1$ måste $15$ dela $x$. Sätt $x=15k$. Då blir $y=9-11k$. Villkoren $x\ge0$ och $y\ge0$ ger $0\le k<1$, så $k=0$. Svar: $(x,y)=(0,9)$.
(c) Ekvationen $Ax+By=C$ har heltalslösningar om och endast om $\operatorname{SGD}(A,B)$ delar $C$. Det minsta positiva $b$ är därför $12$. Baklänges från Euklides algoritm får vi $12=3\cdot180-4\cdot132$. Svar: $b=12$, till exempel $x=-4$, $y=3$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Finn alla reella lösningar till olikheten: $\frac{x+1}{x-2} \leq \frac{1}{x}$.
Visa lösningDölj lösning
Vi flyttar över termerna och skriver på gemensamt bråkstreck:
\[
\frac{x+1}{x-2}-\frac1x=\frac{x(x+1)-(x-2)}{x(x-2)}=\frac{x^2+2}{x(x-2)}\le0.
\]
Täljaren är alltid positiv. Nämnaren måste därför vara negativ, med $x\ne0,2$, vilket ger $0<x<2$. Svar: $0<x<2$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
(a)
Bestäm alla komplexa rötter till $z^2 + (2 - 2i)z - (1 + 2i) = 0$.
(b)
Skriv det komplexa talet $w = (1 + i)^{10}$ på formen $a + bi$.
(c)
Med hjälp av de Moivres formel, skriv $\sin 3\theta$ som funktion av $\sin \theta$ och $\cos \theta$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Med $p=2-2i$ och $q=-(1+2i)$ ger pq-formeln
\[
z=-(1-i)\pm\sqrt{(1-i)^2+1+2i}=-1+i\pm1.
\]
Alltså är $z_1=i$ och $z_2=-2+i$.
(b) Beloppet av $1+i$ är $\sqrt2$ och argumentet är $\pi/4$, så $1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$. De Moivres formel ger
\[
(1+i)^{10}=32e^{i5\pi/2}=32i.
\]
(c) De Moivres formel och binomialsatsen ger
\[
(\cos\theta+i\sin\theta)^3=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta).
\]
Alltså $\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Sju vänner (A, B, C, D, E, F, G) ska ställa sig i en kö.
(a)
På hur många sätt kan de bilda en kö om A och B absolut inte vill stå bredvid varandra?
(b)
På hur många sätt kan de bilda en kö om A måste stå någonstans före B och B måste stå någonstans före C?
Visa lösningDölj lösning
(a) Totalt finns $7!$ köer. Om $A$ och $B$ står bredvid varandra behandlar vi dem som ett block: det ger $2\cdot6!$ förbjudna köer. Antalet tillåtna köer är därför $7!-2\cdot6!=3600$.
(b) Välj de tre positionerna för $A,B,C$ på $\binom73$ sätt. På dessa positioner finns bara ordningen $A,B,C$, och de övriga fyra personerna kan placeras på $4!$ sätt. Antalet blir
\[
\binom73 4!=840.
\]
Alternativt är svaret $7!/3!=840$, eftersom alla inbördes ordningar av $A,B,C$ förekommer lika ofta.