Diskret matematik · 2026-03-12
Bestäm alla komplexa rötter till $z^2 + (2 - 2i)z - (1 + 2i) = 0$.
Skriv det komplexa talet $w = (1 + i)^{10}$ på formen $a + bi$.
Med hjälp av de Moivres formel, skriv $\sin 3\theta$ som funktion av $\sin \theta$ och $\cos \theta$.
(a) Med $p=2-2i$ och $q=-(1+2i)$ ger pq-formeln
\[
z=-(1-i)\pm\sqrt{(1-i)^2+1+2i}=-1+i\pm1.
\]
Alltså är $z_1=i$ och $z_2=-2+i$.
(b) Beloppet av $1+i$ är $\sqrt2$ och argumentet är $\pi/4$, så $1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$. De Moivres formel ger
\[
(1+i)^{10}=32e^{i5\pi/2}=32i.
\]
(c) De Moivres formel och binomialsatsen ger
\[
(\cos\theta+i\sin\theta)^3=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta).
\]
Alltså $\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$.